RLM e Matemática para concursos: Razão e Proporção
Esse é o primeiro de alguns artigos que o Master Juris fará sobre RLM e Matemática. Hoje, confira conosco algumas informações sobre razão e proporção.
Raciocínio lógico-matemático (RLM) e matemática são matérias certas de serem cobradas na maioria dos concursos. Por isso é importante que os concurseiros dominem ambos os temas.
Apesar de serem disciplinas muitas vezes mal vistas, RLM e matemática possuem um lado positivo: com o raciocínio certo, pode-se rapidamente chegar à resposta da maioria das questões, que normalmente não exigem grandes cálculos para serem feitas. Se o candidato tirar meia hora do seu dia para fazer questões, em poucas semanas conseguirá fazer grande parte dos exercícios.
Nesse texto vamos tratar sobre razão e proporção. Confira: 😉
Razão e Proporção
Razão nada mais é do que a comparação entre dois números (ou grandezas). De modo simples, sempre que se fala que há razão entre dois números (numerador e denominador), divide-se um pelo outro. O resultado obtido é o chamado “quociente”.
Por exemplo, se uma questão pede a razão entre 30 (numerador) e 6 (denominador), simplesmente divide-se 30 por 6 (30:6 ou 30/6). A razão é o número 5, que também é o quociente da fração. Ao revés, se 6 for o numerador e 30 o denominador, deve-se dividir 6 por 30, e a razão será 1/5.
A porcentagem, como se verá detalhadamente em outro momento, nada mais é que uma razão que, obrigatoriamente, tem o denominador 100.
A proporção ocorre quando duas razões são iguais. Quando se diz que uma razão tem o mesmo resultado de outra, há uma proporção.
Por exemplo, há proporção entre as razões 30/6 e 45/9, já que o resultado de ambas, quando divididas, é 5.
É importante notar também que na proporção, ao se fazer a chamada “multiplicação cruzada”, que consiste em multiplicar o numerador de uma razão com o denominador de outra, e vice-versa, obtém-se o mesmo resultado. Confira:
Dadas as razões 30/6 e 45/9, ao se multiplicar 30 (numerador da primeira) com 9 (denominador da segunda), obtém-se o valor 270. Do mesmo modo, multiplicando-se 45 (numerador da segunda) com 6 (denominador da primeira), chega-se ao mesmo resultado.
É dessa regra que muitos dos exercícios cobrados em prova partem. Por exemplo:
Dadas as razões idênticas 27/45, 15/x e y/20, descubra o valor de x e y:
Tomando-se por base a primeira razão, iguala-se elas de modo separado às demais, formando as seguintes proporções:
27/45 = 15/x e 27/45 = y/20. Vamos resolver a primeira:
27/45 = 15/x; fazendo a “multiplicação cruzada”, multiplica-se 27 com x e 15 com 45. Daí surge a equação 27x = 15 x 45.
27x = 15 x 45; 27x = 675; x = 675/27; x = 25.
O mesmo procedimento para a segunda equação:
27/45 = y/20; 45y = 27 x 20; 45y = 540; y = 540/45; y = 12.
Vamos a alguns exercícios agora?
Exercícios
1) Uma fábrica com 12 máquinas produz 75 carros por mês. Quantos carros seriam produzidos com 20 máquinas?
Resolução:
12/75 = 20/x; 12x = 20 x 75; 12x = 1500; x = 125.
2) (FCC - 2019 - SEMEF Manaus - AM - Técnico em Web Design da Fazenda Municipal) Os irmãos Antonio, Bento e Celso eram proprietários de um terreno, de modo que Antonio tinha a posse de metade do terreno e Bento tinha a posse de 1/3 do terreno, cabendo a Celso o restante do terreno. Celso vendeu sua parte aos irmãos, metade para cada um. Após a venda, a razão dada pela parte do terreno que cabe a Bento sobre a parte que cabe a Antonio é de
A) 5/7.
B) 2/3
C) 4/5
D) 7/9
E) 3/4
Resolução:
Antonio = A; Bento = B; e Celso = C.
As partes de A + B + C equivalem ao terreno inteiro, valor que chamo de x. Logo, A + B + C = x.
Antonio tinha metade do terreno, logo A = x/2.
Bento tinha 1/3 do terreno, logo, B = x/3.
Celso tinha o restante. Usando a expressão A + B + C = x e substituindo-se A e B, pode-se descobrir o total que Celso possui do terreno. Logo:
A + B + C = x; x/2 + x/3 + C = x; C = x – x/2 – x/3; fazendo-se o MMC entre os denominadores, obtém-se a expressão C = 6x/6 – 3x/6 – 2x/6; C = x/6. Então Celso tinha o equivalente a um sexto do terreno.
No entanto, Celso vendeu sua parte aos irmãos, metade para cada um. Logo, cada irmão recebeu x/6 dividido por 2, que dá x/12. Somando-se essa parte ao que cada um tinha anteriormente, obtém-se:
A = x/2 + x/12; A = 6x/12 + x/12; A = 7x/12.
B = x/3 + x/12; B = 4x/12 + x/12; B = 5x/12.
A questão pede a razão entre a parte de Bento e a de Antonio; logo, divide-se B/A, ou 7x/12 por 5x/12, obtendo-se 5/7 (opção A).
3) (FCC - 2019 - SEFAZ-BA - Auditor Fiscal - Administração Tributária - Prova II) Certa empresa de auditoria foi criada a partir do aporte de capital investido por três sócios. O sócio B participou com o dobro do capital investido pelo sócio A, enquanto o sócio C participou com uma vez e meia o capital investido pelo sócio B. Se fosse partilhado um lucro de um milhão e meio de reais proporcionalmente ao que cada um investiu, o sócio A receberia um valor, em mil reais, igual a
A) 100.
B) 200.
C) 150.
D) 250.
E) 125.
Resolução:
O capital de B é o dobro do capital de A. Logo, B = 2A.
O capital de C é 1,5 do capital de B. Logo, C = 1,5B. Substituindo B em função de A, temos que C = 1,5 x 2A; C = 3A.
Se os três sócios recebem 1,5 milhão de reais, pode-se dizer que A + B + C = 1.500.000. Substituindo B e C em função de A:
A + B + C = 1.500.000; A + 2A + 3A = 1.500.000; 6A = 1.500.000; A = 1.500.000/6; A = 250.000.
Logo, A tem 250 mil reais a receber (opção D).
3) (FCC - 2019 - SEMEF Manaus - AM - Técnico em Web Design da Fazenda Municipal) Um atleta leva 2 minutos e 6 segundos para dar uma volta mais 3/4 de volta em uma pista de corrida. Mantendo a mesma velocidade média, o tempo que o atleta leva para percorrer 2/3 de uma volta na pista é de
A) 33 segundos
B) 43 segundos
C) 38 segundos
D) 48 segundos
E) 28 segundos
Resolução:
Um minuto tem 60 segundos. O atleta percorreu uma volta mais ¾ da pista em dois minutos e seis segundos. Convertendo-se os dois minutos para segundos, teremos que o atleta fez o percurso narrado em 126 segundos. Descobrindo-se o tempo total que o atleta demora para percorrer a pista, o resultado da questão será obtido ao se dividir esse tempo por 2/3.
Para descobrir o tempo total, basta fazer uma proporção:
1 + ¾ = 126/x; somando-se 1 + ¾ obtém-se: 7/4 = 126/x;multiplicando-se cruzado, tem-se que 7x = 126 x 4; 7x = 504; x = 72 segundos.
Multiplicando-se 2/3 por 72 obtém-se 48 segundos (opção D).
4) (FCC - 2019 - SEFAZ-BA - Auditor Fiscal - Administração Tributária - Prova II) Durante a campanha para eleições presidenciais em determinado país foram compartilhadas 30 milhões de vezes fakenews a favor do candidato A. Já fakenews a favor do candidato B foram compartilhadas 6 milhões de vezes. De acordo com esses dados, pode-se estimar que a razão entre a diferença entre o número de compartilhamentos de fakenews pró-A e pró-B em relação ao número de compartilhamentos de fakenews pró-B é igual a
A) 4.
B) 3.
C) 2.
D) 5.
E) 6.
Resolução:
A diferença entre o número de fakenews pró-A e pró-B é igual à diminuição de 30 milhões por 6 milhões, que dá 24 milhões.
O número de fakenews pró-B é igual a 6 milhões.
Dividindo-se 24 milhões por 6 milhões temos o valor 4 (opção A).
5) (CETAP - 2016 - Prefeitura de São Miguel do Guamá - PA - Agente Administrativo) Uma pesquisa realizada no centro da cidade contou com 630 pessoas. Verificou-se que a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 3/4. Quantas mulheres participaram da pesquisa?
A) 90
B) 120
C) 270
D) 360
E) 320
Resolução:
O total de homens (H) mais mulheres (M) é igual a 630; logo, H + M = 630.
A razão entre homens (H) e mulheres (M) é de ¾; logo, H/M = ¾.
Sendo H/M = ¾, podemos achar o número de homens em função do número de mulheres. Assim, H = 3M/4. Substituindo-se essa expressão obtida na primeira:
H + M = 630; 3M/4 + M = 630; fazendo-se o MMC, chega-se a 3M + 4M = 630 x 4; 7M = 2.520; M = 360.
O número de mulheres é igual a 360, que dá 270 (opção D).
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